LAM BINH Duy Nhien

Mathématiques
2019 - 2020
Crédits photo: De frankie's

Notions élémentaires

Ensembles de nombres

  • $\mathbb{N}$: ensemble des nombres naturels, $\mathbb{N}=$ {0 ; 1 ; 2; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ...}
  • $\mathbb{N^*}$: ensemble des nombres naturels non nuls, $\mathbb{N^*}=$ {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6; ...}
  • $\mathbb{Z}$: ensemble des nombres entiers (relatifs), $\mathbb{Z}=$ {...; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}
  • $\mathbb{Q}$: ensemble des nombres rationnels (fraction), $\mathbb{Q}=$ {...; -10 ;-$\dfrac{7}{4}$; 0 ; 0,333 ; $\dfrac{7}{5}$ ; 11 ;...}
  • $\mathbb{R}$: ensemble des nombres réels
  • $\mathbb{R_+}$: ensemble des nombres réels positifs
  • $\varnothing$: ensemble vide, également noté {} (ensemble qui ne contient aucun élément)
  • $A$ inter $B$: $A\cap B$
  • $A$ union $B$: $A\cup B$
  • Identités remarquables

  • $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$
  • $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$
  • $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$
  • $(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$
  • $(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$
  • $(A+B)(A^2-AB+B^2)=A^3+B^3$
  • $(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3$
  • Résolution d'une équation du deuxième degré: $ax^2+bx+c=0$

  • Calculer la valeur du discriminant: $\Delta=b^2-4ac$
  • si $\Delta>0$, alors l'équation a deux solutions, $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
  • si $\Delta=0$, alors l'équation a une solutions (double), $x=\dfrac{-b}{2a}$
  • si $\Delta<0$, alors l'équation n'a pas de solution
  • Puissances

  • $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$
  • $(a^n)^m = (a^m)^n = a^{nm}$
  • $(ab)^n = a^n \cdot b^n$
  • $\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}=\dfrac{1}{a^{m-n}}$
  • $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n =\dfrac{a^n}{b^n}$
  • $a^{\dfrac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$
  • $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$
  • $a^{\dfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
  • $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} =\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$
  • $a^1 = a$
  • $a^0 = 1$ $(a \ne 0)$
  • Racines

  • $\sqrt[n]{a}= a^{\dfrac{1}{n}}$
  • $\sqrt[n]{a^m}= a^{\dfrac{m}{n}}$
  • $\sqrt[n]{ab}= \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$
  • $\sqrt[n]{a/b}=$ $\sqrt[n]{a}/$$\sqrt[n]{b}$
  • Puissances des polynômes, produits remarquables

    Le triangle de Pascal

    $n$
    01
    111
    2121
    31331
    414641
    515101051
    61615201561

    Développement de $(a + b)^n$

    Le triangle de Pascal nous permet de déterminer, par exemple, le développement de $(a+b)^4$ :

    $(a+b)^4 = a^4+4\,a^{3}b+6\,a^2b^2+4\,ab^3+b^4$

    Pouvez-vous déterminer le développement de $(a+b)^7$ ?